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Ecuación de la parábola en su forma general

En todos los casos, la estructura de la ecuación de la parábola tiene las siguientes características:

Existe solamente una variable al cuadrado (x 2 o bien y 2 ) y otra lineal.

El coeficiente de la variable lineal (4p) (el coeficiente es el 4) representa la proporción del lado recto con respecto de la distancia focal (debemos recordar que la distancia focal es la distancia entre el foco y el vértice).

Pero además de lo anterior, desde el punto de vista de las estructuras algebraicas, la ecuación de la parábola es una ecuación de segundo grado , que puede expresarse en la forma general de ecuaciones de este tipo.

Obtención de la ecuación general de la parábola

Para llegar a dicha expresión o forma general, es necesario desarrollar  algebraicamente la forma ordinaria o canónica de la ecuación.

Tomando como ejemplo la forma:

(x – h) 2 = 4p(y – k)

Desarrollando resulta:

x 2 – 2hx + h 2 = 4py – 4pk

x 2 – 2hx + h 2 – 4py + 4pk = 0

Multiplicando la ecuación por un coeficiente “A” con la intención de generalizar, y considerando A ≠ 0 , tendremos:

Ax 2 – 2Ahx + Ah 2 – 4Apy + 4Apk = 0

Reordenando:

Ax 2 – 4Apy – 2Ahx – Ah 2 + 4Apk = 0

Ax 2 – 4Apy – 2Ahx + A(h 2 + 4pk) = 0

Haciendo que los coeficientes de las variables sean:

–4Ap = B

–2Ah = C

A(h 2 + 4pk) = D

Sustituyendo los coeficientes B, C y D en la ecuación, nos queda

Ax 2 + Bx + Cy + D = 0

que es la ecuación de una parábola horizontal en su forma general.

Análogamente, para una parábola de orientación vertical, la ecuación en su forma general será:

Ay 2 + Bx + Cy + D = 0

Ejemplo I

Una parábola tiene vértice en el punto (–4, 2) , y su directriz es y = 5 , encuentre su ecuación y exprésela en la forma general.

Desarrollo

Analizando las coordenadas del vértice y la posición de la directriz, se puede concluir que:

a) La directriz es paralela al eje de las abscisas, por lo tanto la posición de la parábola es vertical.

b) La directriz corta al eje de las ordenadas en un valor (5) mayor que la ordenada del vértice (2), por lo tanto la parábola se  abre hacia abajo (sentido negativo del eje de las Y).

c) Las coordenadas del vértice no corresponden con las del origen.

d) Dado lo anterior, se trata entonces de una parábola cuya ecuación ordinaria o canónica es del tipo:

(x – h) 2 = –4p (y – k)

De las coordenadas del vértice se obtiene:

h = –4

k = 2

Se obtiene p por diferencia entre las ordenadas del vértice y de la directriz, resultando:

p = 5 – 2

p = 3

Sustituyendo valores en la ecuación ordinaria, resulta:

(x – h) 2 = –4p(y – k)

(x – (–4)) 2 = –4 (3) (y – (+2))

(x + 4) 2 = –12(y – 2)

(x + 4) 2 = –12y + 24

Desarrollando el binomio al cuadrado

(x + 4) (x + 4) = x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 = +12y – 24

Simplificando e igualando a cero la ecuación se tiene:

x 2 + 8x + 16 + 12y – 24 = 0

x 2 + 8x + 12y – 8 = 0

Que es la ecuación buscada.

Calcular los parámetros de la parábola  si nos dan su ecuación general.

Reducción de la ecuación de una parábola

Dada una ecuación del tipo

Ax 2 + Bx + Cy + D = 0

o del tipo

Ay 2 + Bx + Cy + D = 0,

siempre es posible reducir la ecuación de una parábola . Para ello se completa un cuadrado y se manipula adecuadamente el otro miembro.

Ver: Cuadro resumen

Ejemplo  II

Dada la ecuación de la parábola

y 2 + 8y – 6x + 4 = 0,

encuentre las coordenadas del vértice y del foco, así como la ecuación de su directriz.

Una forma de obtener los elementos solicitados consiste en reducir la ecuación general anterior llevándola a la forma ordinaria o canónica.

Como primer paso, se separan a diferentes miembros la variable al cuadrado (y 2 ) y la variable lineal (6x) junto con el término independiente (–4)

y 2 + 8y = 6x – 4

Con la intención de factorizar se procede a la adición (en ambos miembros de la ecuación) de un término adecuado para que se complete el trinomio cuadrado perfecto :

En este caso ese número es 16, que se obtiene dividiendo a la mitad el valor numérico  del factor lineal (el 8 de 8y) y el resultado elevado al cuadrado:

8/2 = 4 y 4 2 = 16 (8 dividido 2 es igual a 4 y 4 al cuadrado es 16)

Y 16 lo sumamos a ambos lados de la ecuación:

y 2 + 8y + 16 = 6x – 4 + 16

Simplificando:

y 2 + 8y + 16 = 6x + 12

Factorizando resulta:

El trinomio cuadrado y 2 + 8y + 16 que se convierte en cuadrado de binomio  (y + 4) 2

y 2 + 8y + 16  =  (y + 4) 2

Y el segundo miembro queda

6x + 12 = 6(x + 2)

Entonces, la ecuación queda así:

(y + 4) 2 = 6(x + 2)

Que es la ecuación ordinaria de una parábola con vértice fuera del origen, horizontal, y que se abre hacia la derecha, en el sentido positivo del eje de las abscisas, según lo visto anteriormente.

(y – k) 2 = 4p(x – h)

Con lo cual se puede determinar que:

k = – 4

h = – 2

Por lo tanto, el vértice tiene las coordenadas V (–2, –4)

Además:

Si 4p = 6

Entonces

p = 6/4  = 3/2

Considerando la orientación ya señalada de la parábola y el valor de p , es posible determinar la posición del foco, ya que éste estará alineado a la derecha del vértice a una distancia p desde h , y con la misma ordenada k , resultando:

F(h + p, k)

F(–2 + 3/2,  –4)

F(–1/2, –4)

La ecuación de la directriz se obtiene de x – h + p = 0

Resultando:

x – (– 2) + (3/2) = 0

x + 4/2 + 3/2 = 0

x + 7/2 = 0

x = –7/2

Ejemplo III

Veamos otro ejemplo, tenemos la ecuación desarrollada

xxx
Siempre que una variable esta elevada al cuadrado se trata de una parábola.

Para determinar si corresponde a una parábola, debe semejarse a:

(x – h) 2 = 4p(y – k)


que es la ecuación de una parábola de eje vertical, abierta hacia arriba .

Para llevar la ecuación desarrollada a la forma (x – h) 2 = 4 p (y – k) usaremos el método de completar el trinomio, para llevarlo a cuadrado perfecto:

3x 2 – 4x – 6y + 8 = 0

Empezamos separando las variables en cada miembro :

Pasar los términos sin "x" al lado derecho de la ecuación

3x 2 – 4x = 6y – 8

dividir toda la ecuación por el coeficiente de la variable cuadrática, en este caso es 3, para quedar

x 2 – 4/3 x = 2y – 8/3

Obtener la mitad de 4/3

(4/3) / 2 = 2/3

Y elevarla al cuadrado

(2/3) 2 = 4/9

Sumar 4/9 en ambos lados de la ecuación (de la parábola)

x 2 – 4/3 x + 4/9 = 2y – 8/3 + 4/9

Factorizar y simplificar

(x – 2/3) 2 = 2y – 20/9

Factorizar por 2 en el lado derecho

(x – 2/3) 2 = 2 (y – 10/9)

Entonces

h = 2/3

k = 10/9

4p = 2    ------>  p = 2/4  =  1/2

EJERCICIOS:

1)  Encuentre el vértice, foco, la ecuación de la directriz, así como la longitud del lado recto de las parábolas siguientes:

a) y = x 2 – 4x + 2

b) y 2 + 14y + 4x + 45 = 0

2)  Determine la ecuación de la parábola que tiene por vértice al punto (–3, 5), de eje paralelo al eje X y que pasa por el punto (5, 9)

3)  Encuentre la ecuación de la parábola, en su forma general, que pasa por los puntos (2, 5), (–2,  –3) y (1, 6)

4)  Encuentre la ecuación en forma general de la parábola con foco en (0, 6) y con directriz superpuesta al eje X

5)  Encuentre la ecuación en forma general de la parábola que tiene foco en (–2,  3 ) y cuyos extremos del lado recto son (–2,  2) y (–2, 4).

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Fuente Internet:

http://matematicas.bach.uaa.mx/Descargas/Alumnos/Analitica/mat3u5.pdf

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